Trigonometrie Beispiele

$\log (2 x^{4}) - \log (x^{2}) = \log (18) + \log (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{2 x^{4}}{x^{2}}) = \log (18) + \log (x)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$\log (\frac{x^{2} (2 x^{2})}{x^{2}}) = \log (18) + \log (x)$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\log (\frac{x^{2} (2 x^{2})}{x^{2} \cdot 1}) = \log (18) + \log (x)$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{x^{2} (2 x^{2})}{x^{2} \cdot 1}) = \log (18) + \log (x)$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{2 x^{2}}{1}) = \log (18) + \log (x)$

Schritt 1.2.2.4

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$\log (2 x^{2}) = \log (18) + \log (x)$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (2 x^{2}) = \log (18 x)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 x^{2} = 18 x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $18 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 18 x = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} - 18 x$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 x (x) - 18 x = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 18 x$ heraus.

$2 x (x) + 2 x (- 9) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (- 9)$ heraus.

$2 x (x - 9) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 9$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\log (2 x^{4}) - \log (x^{2}) = \log (18) + \log (x)$ nicht erfüllen.

$x = 9$