Trigonometrie Beispiele

$\log (3 x - 1) + \log (x + 2) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((3 x - 1) (x + 2)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(3 x - 1) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (3 x (x + 2) - 1 (x + 2)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 1 (x + 2)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\log (3 x^{2} + 6 x - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\log (3 x^{2} + 6 x - x - 1 \cdot 2) = 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\log (3 x^{2} + 6 x - x - 2) = 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $x$ von $6 x$ .

$\log (3 x^{2} + 5 x - 2) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (3 x^{2} + 5 x - 2) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} + 5 x - 2$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} + 5 x - 2 = 10^{1}$ um.

$3 x^{2} + 5 x - 2 = 10$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 5 x - 2 - 10 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $10$ von $- 2$ .

$3 x^{2} + 5 x - 12 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$3 x^{2} + 5 (x) - 12 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $5$ um als $- 4$ plus $9$

$3 x^{2} + (- 4 + 9) x - 12 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 4 x + 9 x - 12 = 0$

Schritt 3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 4 x) + 9 x - 12 = 0$

Schritt 3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 4) + 3 (3 x - 4) = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.6

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $3 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 3.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{4}{3}, - 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (3 x - 1) + \log (x + 2) = 1$ nicht erfüllen.

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4}{3}$

Dezimalform:

$x = 1.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{3}$