Trigonometrie Beispiele

$\ln (x) + \ln ({(x)}^{2}) = 6$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Schritt 1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (x^{3}) = 6$

Schritt 2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

Schritt 3

Schreibe $\ln (x^{3}) = 6$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{3}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} = e^{6}$ um.

$x^{3} = e^{6}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $e^{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - e^{6} = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $e^{6}$ als ${(e^{2})}^{3}$ um.

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

Schritt 4.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = e^{2}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

Schritt 4.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

Schritt 4.3.3.2

Stelle die Terme um.

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Schritt 4.5

Setze $x - e^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - e^{2}$ gleich $0$ .

$x - e^{2} = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $e^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = e^{2}$

Schritt 4.6

Setze $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ gleich $0$ .

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = e^{2}$ und $c = e^{4}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.2.3.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ als ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ um.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{2}$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.6.2.3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.3.2

Addiere $e^{2}$ und $2 e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.3.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.6.2.3.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.4

Subtrahiere $2 e^{2}$ von $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.6.2.3.1.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.5.2

Multipliziere $e^{2}$ mit $e^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.2.3.1.5.2.1

Bewege $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.5.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.6

Schreibe $- 3 e^{4}$ als ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.6.2.3.1.6.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.6.2

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.6.3

Schreibe $e^{4}$ als ${(e^{2})}^{2}$ um.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.6.4

Bewege $3$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.6.5

Schreibe $i^{2} {(e^{2})}^{2}$ als ${(i e^{2})}^{2}$ um.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ wahr machen.

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$