Trigonometrie Beispiele

$\ln (2 x - 1) - \ln (x + 3) = 2$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x - 1}{x + 3}) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\frac{2 x - 1}{x + 3}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{2 x - 1}{x + 3}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$2 x - 1 = e^{2} (x + 3)$

Schritt 4

Vereinfache $e^{2} (x + 3)$ .

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 1 = e^{2} x + e^{2} \cdot 3$

Schritt 4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$2 x - 1 = e^{2} x + 3 e^{2}$

Schritt 5

Subtrahiere $e^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 1 - e^{2} x = 3 e^{2}$

Schritt 6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - e^{2} x = 3 e^{2} + 1$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $2 x - e^{2} x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$x \cdot 2 - e^{2} x = 3 e^{2} + 1$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $- e^{2} x$ heraus.

$x \cdot 2 + x (- e^{2}) = 3 e^{2} + 1$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (- e^{2})$ heraus.

$x (2 - e^{2}) = 3 e^{2} + 1$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x (2 - e^{2}) = 3 e^{2} + 1$ durch $2 - e^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x (2 - e^{2}) = 3 e^{2} + 1$ durch $2 - e^{2}$ .

$\frac{x (2 - e^{2})}{2 - e^{2}} = \frac{3 e^{2}}{2 - e^{2}} + \frac{1}{2 - e^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - e^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 - e^{2})}{2 - e^{2}} = \frac{3 e^{2}}{2 - e^{2}} + \frac{1}{2 - e^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 e^{2}}{2 - e^{2}} + \frac{1}{2 - e^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 e^{2} + 1}{2 - e^{2}}$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (2 x - 1) - \ln (x + 3) = 2$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$