Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x + 20) = \cos (30)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (2 x + 20) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x + 20 = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $60$ .

$2 x + 20 = 60$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 60 - 20$

Schritt 4.2

Subtrahiere $20$ von $60$ .

$2 x = 40$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 40$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 40$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{40}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{40}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{40}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $40$ durch $2$ .

$x = 20$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x + 20 = 180 - 60$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $60$ von $180$ .

$2 x + 20 = 120$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 120 - 20$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $20$ von $120$ .

$2 x = 100$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 100$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 100$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{100}{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{100}{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{100}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Dividiere $100$ durch $2$ .

$x = 50$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (2 x + 20)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 2 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{360}{2}$

Schritt 8.4

Dividiere $360$ durch $2$ .

$180$

Schritt 9

Die Periode der $\sin (2 x + 20)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 20 + 180 n, 50 + 180 n$ , für jede ganze Zahl $n$