Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ , $0 < x < 2 π$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (\frac{x}{2}) = 1$

Schritt 2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arctan (1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Schritt 7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $2 (π + \frac{π}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Schritt 7.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 7.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

Schritt 7.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

Schritt 7.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

Schritt 7.2.2.1.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{x}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 8.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{x}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Schritt 11.2.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 11.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$