Trigonometrie Beispiele

$\cot (x) = \sqrt{3}$ , $(0, 2 π)$

Schritt 1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $arccot (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 4

Vereinfache $π + \frac{π}{6}$ .

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Schritt 4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 4.3.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $(0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 8.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + π (0)$

Schritt 8.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Schritt 8.1.2.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 8.1.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 8.2

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.2.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + π (1)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Schritt 8.2.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 8.2.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Schritt 8.2.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.4.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Schritt 8.2.2.4.2

Addiere $π$ und $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Schritt 8.2.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$