Trigonometrie Beispiele

$z = - 3 + 4 i$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 3$ und $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 9}$

Schritt 4.3

Addiere $16$ und $9$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Schritt 4.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 5$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{4}{- 3})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{4}{- 3}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $2.21429743$ .

$θ = 2.21429743$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = 2.21429743$ und $| z | = 5$ .

$5 (\cos (2.21429743) + i \sin (2.21429743))$

Schritt 8

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

$z = 5 (\cos (2.21429743) + i \sin (2.21429743))$