Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $[0, 2 π]$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Schritt 4

Vereinfache $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $5 π$ von $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π]$ ergeben.

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Schritt 7.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π]$ enthalten ist.

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Schritt 7.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Schritt 7.1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Schritt 7.1.2.2

Addiere $\frac{5 π}{6}$ und $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Schritt 7.1.3

Das Intervall $[0, 2 π]$ enthält $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π]$ enthalten ist.

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Schritt 7.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{7 π}{6} + 2 π (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{7 π}{6} + 0 π$

Schritt 7.2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{7 π}{6} + 0$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $\frac{7 π}{6}$ und $0$ .

$\frac{7 π}{6}$

Schritt 7.2.3

Das Intervall $[0, 2 π]$ enthält $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$