Trigonometrie Beispiele

$12 \cos^{2} (x - 9) = 0$ , $0 < x < 2 π$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $12 \cos^{2} (x - 9) = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $12 \cos^{2} (x - 9) = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 \cos^{2} (x - 9)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cos^{2} (x - 9)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x - 9)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x - 9) = \frac{0}{12}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$\cos^{2} (x - 9) = 0$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x - 9) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\cos (x - 9) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x - 9) = \pm 0$

Schritt 3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\cos (x - 9) = 0$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x - 9 = \arccos (0)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x - 9 = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + 9$

Schritt 7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x - 9 = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x - 9 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x - 9 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 8.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - 9 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - 9 = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 8.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - 9 = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{2} + 9$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cos (x - 9)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (x - 9)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 9 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 9 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + 9 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 12

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $(0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 12.1

Setze $- 3$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 12.1.1

Setze $- 3$ für $n$ ein.

$\frac{π}{2} + 9 + π (- 3)$

Schritt 12.1.2

Vereinfache.

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Schritt 12.1.2.1

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π}{2} + 9 - 3 π$

Schritt 12.1.2.2

Um $- 3 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 3 π \cdot \frac{2}{2} + 9$

Schritt 12.1.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.1.2.3.1

Kombiniere $- 3 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{- 3 π \cdot 2}{2} + 9$

Schritt 12.1.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π - 3 π \cdot 2}{2} + 9$

Schritt 12.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.2.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{π - 6 π}{2} + 9$

Schritt 12.1.2.4.1.2

Subtrahiere $6 π$ von $π$ .

$\frac{- 5 π}{2} + 9$

Schritt 12.1.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 π}{2} + 9$

Schritt 12.1.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $- \frac{5 π}{2} + 9$ .

$x = - \frac{5 π}{2} + 9$

Schritt 12.2

Setze $- 2$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 12.2.1

Setze $- 2$ für $n$ ein.

$\frac{π}{2} + 9 + π (- 2)$

Schritt 12.2.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.2.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π}{2} + 9 - 2 π$

Schritt 12.2.2.2

Um $- 2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2} + 9$

Schritt 12.2.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.2.2.3.1

Kombiniere $- 2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2} + 9$

Schritt 12.2.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π - 2 π \cdot 2}{2} + 9$

Schritt 12.2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.2.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{π - 4 π}{2} + 9$

Schritt 12.2.2.4.1.2

Subtrahiere $4 π$ von $π$ .

$\frac{- 3 π}{2} + 9$

Schritt 12.2.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 π}{2} + 9$

Schritt 12.2.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $- \frac{3 π}{2} + 9$ .

$x = - \frac{5 π}{2} + 9, - \frac{3 π}{2} + 9$