Trigonometrie Beispiele

$y = 4 \sin (\frac{1}{2} x)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 \sin (\frac{1}{2} x)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 \sin (\frac{1}{2} x) = 0$ um.

$4 \sin (\frac{1}{2} x) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{1}{2} x) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{1}{2} x) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{1}{2} x)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (\frac{1}{2} x)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{1}{2} x)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{1}{2} x) = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\sin (\frac{1}{2} x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{1}{2} x = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Schritt 1.2.6

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 1.2.7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Schritt 1.2.8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π - 0)$

Schritt 1.2.8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.2.2.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = 2 π$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{1}{2} x)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 1.2.9.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 1.2.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 1.2.10

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{1}{2} x)$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 \sin (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$y = 4 \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 4 \sin (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $4 \sin (\frac{1}{2} \cdot (0))$ .

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$y = 4 \sin (0)$

Schritt 2.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$y = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4