Trigonometrie Beispiele

$y = 2 x^{2} + 6 x - 54$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{2} + 6 x - 54$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} + 6 x - 54 = 0$ um.

$2 x^{2} + 6 x - 54 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 6 x - 54$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 6 x - 54 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (3 x) - 54 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 54$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 27 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (3 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot - 27 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot - 27$ heraus.

$2 (x^{2} + 3 x - 27) = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} + 3 x - 27) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} + 3 x - 27) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x - 27)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} + 3 x - 27)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} + 3 x - 27$ durch $1$ .

$x^{2} + 3 x - 27 = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} + 3 x - 27 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = - 27$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 27)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 27$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 27$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $9$ und $108$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{117}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $117$ als $3^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $117$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 27$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 27$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $9$ und $108$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{117}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $117$ als $3^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $117$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.7.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \sqrt{13}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 \sqrt{13})}{2}$

Schritt 1.2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- 3 \sqrt{13})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - 3 \sqrt{13})}{2}$

Schritt 1.2.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 27$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 27$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $9$ und $108$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{117}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $117$ als $3^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $117$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.8.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \sqrt{13}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 \sqrt{13})}{2}$

Schritt 1.2.8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (3 \sqrt{13})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + 3 \sqrt{13})}{2}$

Schritt 1.2.8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - 3 \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + 3 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{3 - 3 \sqrt{13}}{2}, 0), (- \frac{3 + 3 \sqrt{13}}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{2} + 6 (0) - 54$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{2} + 6 (0) - 54$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{2} + 6 (0) - 54$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $2 {(0)}^{2} + 6 (0) - 54$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 6 (0) - 54$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 6 (0) - 54$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 54$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 54$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $54$ von $0$ .

$y = - 54$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 54)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{3 - 3 \sqrt{13}}{2}, 0), (- \frac{3 + 3 \sqrt{13}}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 54)$

Schritt 4