Trigonometrie Beispiele

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} - 8 y$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ ein.

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.2

Setze $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ für $4 y^{2} - 8 y$ ein in der Gleichung $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Schritt 1.3

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

Schritt 1.4

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 25 x^{2} + 100 x$ an.

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Schritt 1.4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Schritt 1.4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Schritt 1.4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{50}{- 25}$

Schritt 1.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $- 25$ .

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Schritt 1.4.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.4.2.1.1

Potenziere $100$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Schritt 1.4.4.2.1.3

Dividiere $10000$ durch $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Schritt 1.4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Schritt 1.4.4.2.2

Addiere $0$ und $100$ .

$e = 100$

Schritt 1.4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ ein.

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Schritt 1.5

Setze $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ für $- 25 x^{2} + 100 x$ ein in der Gleichung $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

Schritt 1.6

Bringe $100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

Schritt 1.7

Vereinfache $196 + 4 - 100$ .

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Schritt 1.7.1

Addiere $196$ und $4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $100$ von $200$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

Schritt 1.8

Teile jeden Term durch $100$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Schritt 1.9

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Schritt 5.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 5$ und $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Schritt 6.2

Vereinfache $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Schritt 6.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

Schritt 6.2.1.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

Schritt 6.2.2

Addiere $5$ und $1$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = \frac{5 x}{2} - 4$ und $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ .

Asymptoten: $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Schritt 9