Trigonometrie Beispiele

$- 0.5 = 3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5$ um.

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (\frac{x}{3})$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = - 0.5 + 2$

Schritt 2.2

Addiere $- 0.5$ und $2$ .

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin^{2} (\frac{x}{3})}{3} = \frac{1.5}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin^{2} (\frac{x}{3})}{3} = \frac{1.5}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (\frac{x}{3})$ durch $1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{3}) = \frac{1.5}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $1.5$ durch $3$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{3}) = 0.5$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (\frac{x}{3}) = \pm \sqrt{0.5}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}, - \sqrt{0.5}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$

$\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$

Schritt 7

Löse in $\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{3} = \arcsin (\sqrt{0.5})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arcsin (\sqrt{0.5})$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{4}$

Schritt 7.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Schritt 7.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Schritt 7.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{π}{4}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 7.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{4}$

Schritt 7.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (π - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.6.2.2.1

Vereinfache $3 (π - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 7.6.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.6.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 3 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 7.6.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.2.2.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = 3 \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 7.6.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{4}$

Schritt 7.6.2.2.1.4

Multipliziere $3 \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 7.6.2.2.1.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{4}$

Schritt 7.6.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{9 π}{4}$

Schritt 7.7

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Schritt 7.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 7.7.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 7.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 7.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 7.8

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{3})$ ist $6 π$ , d. h., Werte werden sich alle $6 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Löse in $\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{3} = \arcsin (- \sqrt{0.5})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\arcsin (- \sqrt{0.5})$ .

$\frac{x}{3} = - \frac{π}{4}$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{4})$

Schritt 8.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{4})$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (- \frac{π}{4})$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{π}{4})$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Multipliziere $3 (- \frac{π}{4})$ .

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Schritt 8.4.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 3 \frac{π}{4}$

Schritt 8.4.2.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{- 3 π}{4}$

Schritt 8.4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 π}{4}$

Schritt 8.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 8.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 8.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{4}$

Schritt 8.6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{5 π}{4}$

Schritt 8.6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.6.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{5 π}{4}$

Schritt 8.6.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{5 π}{4}$

Schritt 8.6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.6.3.2.2.1

Multipliziere $3 \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 8.6.3.2.2.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (5 π)}{4}$

Schritt 8.6.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x = \frac{15 π}{4}$

Schritt 8.7

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Schritt 8.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 8.7.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 8.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 8.8

Addiere $6 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.8.1

Addiere $6 π$ zu $- \frac{3 π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{3 π}{4} + 6 π$

Schritt 8.8.2

Um $6 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$6 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 8.8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.8.3.1

Kombiniere $6 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 8.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 8.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.8.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{24 π - 3 π}{4}$

Schritt 8.8.4.2

Subtrahiere $3 π$ von $24 π$ .

$\frac{21 π}{4}$

Schritt 8.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{21 π}{4}$

Schritt 8.9

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{3})$ ist $6 π$ , d. h., Werte werden sich alle $6 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{15 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, \frac{15 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$