Trigonometrie Beispiele

- 0.5 = 3 {sin}^{2} (\frac{x}{3}) - 2

$- 0.5 = 3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als

3 {sin}^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5$ um.

3 {sin}^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht

sin (\frac{x}{3})

$\sin (\frac{x}{3})$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

3 {sin}^{2} (\frac{x}{3}) = - 0.5 + 2

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = - 0.5 + 2$

Schritt 2.2

Addiere

- 0.5

$- 0.5$ und

2

$2$ .

3 {sin}^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$

3 {sin}^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in

3 {sin}^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$ durch

3

$3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in

3 {sin}^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$ durch

3

$3$ .

\frac{3 {sin}^{2} (\frac{x}{3})}{3} = \frac{1.5}{3}

$\frac{3 \sin^{2} (\frac{x}{3})}{3} = \frac{1.5}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin^{2} (\frac{x}{3})}{3} = \frac{1.5}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere

$\sin^{2} (\frac{x}{3})$ durch

$1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{3}) = \frac{1.5}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Dividiere

$1.5$ durch

$3$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{3}) = 0.5$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (\frac{x}{3}) = \pm \sqrt{0.5}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}, - \sqrt{0.5}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

$x$ aufzulösen.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$

$\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$

Schritt 7

Löse in

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$ nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{3} = \arcsin (\sqrt{0.5})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Berechne

$\arcsin (\sqrt{0.5})$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{4}$

Schritt 7.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit

$3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Schritt 7.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Schritt 7.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{π}{4}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1

Kombiniere

$3$ und

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 7.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{4}$

Schritt 7.6

Löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit

$3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (π - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.2.1

Vereinfache

$3 (π - \frac{π}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.2.1.1

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.2.1.2.1

Kombiniere

$π$ und

$\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Schritt 7.6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 3 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 7.6.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.2.1.3.1

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$π$ .

$x = 3 \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 7.6.2.2.1.3.2

Subtrahiere

$π$ von

$4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{4}$

Schritt 7.6.2.2.1.4

Multipliziere

$3 \frac{3 π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.2.1.4.1

Kombiniere

$3$ und

$\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{4}$

Schritt 7.6.2.2.1.4.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$x = \frac{9 π}{4}$

Schritt 7.7

Ermittele die Periode von

$\sin (\frac{x}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.7.2

Ersetze

$b$ durch

$\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 7.7.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr

$0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 7.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 7.7.5

Mutltipliziere

$3$ mit

$2$ .

$6 π$

Schritt 7.8

Die Periode der Funktion

$\sin (\frac{x}{3})$ ist

$6 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$6 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 8

Löse in

$\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$ nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{3} = \arcsin (- \sqrt{0.5})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Berechne

$\arcsin (- \sqrt{0.5})$ .

$\frac{x}{3} = - \frac{π}{4}$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit

$3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{4})$

Schritt 8.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{4})$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (- \frac{π}{4})$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1

Vereinfache

$3 (- \frac{π}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.1

Multipliziere

$3 (- \frac{π}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$x = - 3 \frac{π}{4}$

Schritt 8.4.2.1.1.2

Kombiniere

$- 3$ und

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{- 3 π}{4}$

Schritt 8.4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 π}{4}$

Schritt 8.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von

$2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu

$π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 8.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.1

Subtrahiere

$2 π$ von

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 8.6.2

Der resultierende Winkel von

$\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als

$2 π$ und gleich

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{4}$

Schritt 8.6.3

Löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit

$3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{5 π}{4}$

Schritt 8.6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{5 π}{4}$

Schritt 8.6.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{5 π}{4}$

Schritt 8.6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.3.2.2.1

Multipliziere

$3 \frac{5 π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.3.2.2.1.1

Kombiniere

$3$ und

$\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (5 π)}{4}$

Schritt 8.6.3.2.2.1.2

Mutltipliziere

$5$ mit

$3$ .

$x = \frac{15 π}{4}$

Schritt 8.7

Ermittele die Periode von

$\sin (\frac{x}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.7.2

Ersetze

$b$ durch

$\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 8.7.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr

$0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 8.7.5

Mutltipliziere

$3$ mit

$2$ .

$6 π$

Schritt 8.8

Addiere

$6 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.1

Addiere

$6 π$ zu

$- \frac{3 π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{3 π}{4} + 6 π$

Schritt 8.8.2

$6 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{4}{4}$ .

$6 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 8.8.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.3.1

Kombiniere

$6 π$ und

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{6 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 8.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 8.8.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.4.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$6$ .

$\frac{24 π - 3 π}{4}$

Schritt 8.8.4.2

Subtrahiere

$3 π$ von

$24 π$ .

$\frac{21 π}{4}$

Schritt 8.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{21 π}{4}$

Schritt 8.9

Die Periode der Funktion

$\sin (\frac{x}{3})$ ist

$6 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$6 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{15 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

$x = \frac{15 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, \frac{15 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , für jede Ganzzahl

$n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , für jede Ganzzahl

$n$