Trigonometrie Beispiele

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 1$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Ersetze die $4 \sin^{2} (x)$ durch $4 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 = 0$

Schritt 5

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

Schritt 6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7

Setze die Werte $a = - 4$ , $b = - 2$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8.1.3

Addiere $4$ und $48$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 4}$

Schritt 8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Schritt 10

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Schritt 11

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Schritt 12

Löse in $\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 13

Löse in $\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$ .

$x = 0.86138422$

Schritt 13.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Schritt 13.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Schritt 13.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.86138422$ .

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Schritt 13.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.86138422$

Schritt 13.4.2.2

Subtrahiere $0.86138422$ von $6.2831853$ .

$x = 5.42180108$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$