Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) = \frac{6}{10}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (x) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{(10)}^{2} - {(6)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(10)}^{2} - {(6)}^{2}}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{{(10)}^{2} - {(6)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{100 - {(6)}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{100 - 1 \cdot 36}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{100 - 36}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $36$ von $100$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{64}$

Schritt 4.6

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{8^{2}}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Gegenkathete $= - 1 \cdot 8$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

Gegenkathete $= - 8$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{- 8}{10}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $10$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 (- 4)}{10}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{- 4}{5}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{4}{5}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $10$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\cos (x) = \frac{2 (3)}{10}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\cos (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{- 8}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $6$ .

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Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\tan (x) = \frac{2 (- 4)}{6}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\tan (x) = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{- 4}{3}$

Schritt 7.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{4}{3}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{6}{- 8}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\cot (x)$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 8$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\cot (x) = \frac{2 (3)}{- 8}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\cot (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{3}{- 4}$

Schritt 8.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (x) = - \frac{3}{4}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{10}{6}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sec (x) = \frac{2 (5)}{6}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\sec (x) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \frac{5}{3}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{10}{- 8}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Wert von $\csc (x)$ .

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $- 8$ .

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Schritt 10.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\csc (x) = \frac{2 (5)}{- 8}$

Schritt 10.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\csc (x) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Schritt 10.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Schritt 10.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{5}{- 4}$

Schritt 10.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (x) = - \frac{5}{4}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = - \frac{4}{5}$

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

$\tan (x) = - \frac{4}{3}$

$\cot (x) = - \frac{3}{4}$

$\sec (x) = \frac{5}{3}$

$\csc (x) = - \frac{5}{4}$