Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 a) = \frac{3}{5}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (2 a) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{25 - 9}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $9$ von $25$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{16}$

Schritt 4.6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{4^{2}}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Gegenkathete $= - 1 \cdot 4$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

Gegenkathete $= - 4$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (2 a)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (2 a) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (2 a) = \frac{- 4}{5}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (2 a) = - \frac{4}{5}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (2 a)$ zu ermitteln.

$\tan (2 a) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (2 a) = \frac{- 4}{3}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (2 a) = - \frac{4}{3}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (2 a)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (2 a) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (2 a) = \frac{3}{- 4}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (2 a) = - \frac{3}{4}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (2 a)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (2 a) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (2 a) = \frac{5}{3}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (2 a)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (2 a) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (2 a) = \frac{5}{- 4}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (2 a) = - \frac{5}{4}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (2 a) = - \frac{4}{5}$

$\cos (2 a) = \frac{3}{5}$

$\tan (2 a) = - \frac{4}{3}$

$\cot (2 a) = - \frac{3}{4}$

$\sec (2 a) = \frac{5}{3}$

$\csc (2 a) = - \frac{5}{4}$