Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{10}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = - \sqrt{{(10)}^{2} - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(10)}^{2} - {(- \sqrt{5})}^{2}}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{{(10)}^{2} - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{100 - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5}$ an.

Ankathete $= - \sqrt{100 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Schritt 4.4

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

Ankathete $= - \sqrt{100 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{5}}^{2})}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

Ankathete $= - \sqrt{100 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{5}}^{2})}$

Schritt 4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Ankathete $= - \sqrt{100 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

Ankathete $= - \sqrt{100 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

Ankathete $= - \sqrt{100 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Ankathete $= - \sqrt{100 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Ankathete $= - \sqrt{100 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{100 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Ankathete $= - \sqrt{100 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

Ankathete $= - \sqrt{100 - 5}$

Schritt 4.6.5

Berechne den Exponenten.

Ankathete $= - \sqrt{100 - 1 \cdot 5}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

Ankathete $= - \sqrt{100 - 5}$

Schritt 4.8

Subtrahiere $5$ von $100$ .

Ankathete $= - \sqrt{95}$

Schritt 5

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{95}}{10}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{95}}{10}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{- \sqrt{95}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\tan (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{95}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige $\sqrt{5}$ und $\sqrt{95}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{5}{95}}$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $95$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{5 (1)}{95}}$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $95$ heraus.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 19}}$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 19}}$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{1}{19}}$

Schritt 6.3.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{19}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ um.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

Schritt 6.3.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{19}}$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Schritt 6.3.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 6.3.7.2

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 6.3.7.3

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 6.3.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Schritt 6.3.7.6

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 6.3.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Schritt 6.3.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{95}}{- \sqrt{5}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{95}}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.3.2

Vereinige $\sqrt{95}$ und $\sqrt{5}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\cot (θ) = \sqrt{\frac{95}{5}}$

Schritt 7.3.3

Dividiere $95$ durch $5$ .

$\cot (θ) = \sqrt{19}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{10}{- \sqrt{95}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{10}{\sqrt{95}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{95}}$ mit $\frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{10}{\sqrt{95}} \cdot \frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}})$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{95}}$ mit $\frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{\sqrt{95} \sqrt{95}}$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $\sqrt{95}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{\sqrt{95} \sqrt{95}}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{95}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{\sqrt{95} \sqrt{95}}$

Schritt 8.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{95}}^{2}$ als $95$ um.

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Schritt 8.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{95}$ als $95^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{{(95^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95}$

Schritt 8.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95}$

Schritt 8.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $95$ .

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Schritt 8.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \sqrt{95}$ heraus.

$\sec (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{95})}{95}$

Schritt 8.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $95$ heraus.

$\sec (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{95})}{5 (19)}$

Schritt 8.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{95})}{5 \cdot 19}$

Schritt 8.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{95}}{19}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{10}{- \sqrt{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{10}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \sqrt{5}$ heraus.

$\csc (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5}$

Schritt 9.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\csc (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 (1)}$

Schritt 9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

Schritt 9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{1}$

Schritt 9.3.4.2.4

Dividiere $2 \sqrt{5}$ durch $1$ .

$\csc (θ) = - (2 \sqrt{5})$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\csc (θ) = - 2 \sqrt{5}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{10}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{95}}{10}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19}$

$\cot (θ) = \sqrt{19}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{95}}{19}$

$\csc (θ) = - 2 \sqrt{5}$