Trigonometrie Beispiele

$\tan (0) = - (\frac{3}{4})$

Schritt 1

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (0) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

Hypothenuse $= \sqrt{\frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{\frac{9}{4^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{\frac{9}{16} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{\frac{9}{16} + 1}$

Schritt 4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

Hypothenuse $= \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{16}{16}}$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Hypothenuse $= \sqrt{\frac{9 + 16}{16}}$

Schritt 4.7

Addiere $9$ und $16$ .

Hypothenuse $= \sqrt{\frac{25}{16}}$

Schritt 4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{16}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$ um.

Hypothenuse $= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

Hypothenuse $= \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Hypothenuse $= \frac{5}{\sqrt{16}}$

Schritt 4.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.10.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

Hypothenuse $= \frac{5}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 4.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Hypothenuse $= \frac{5}{4}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (0)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (0) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (0) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (0)$ .

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (0) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (0) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Schritt 5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (0) = 3 (\frac{1}{5})$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{5}$ .

$\sin (0) = \frac{3}{5}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (0)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (0) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (0) = \frac{- 1}{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (0) = - \frac{4}{5}$

Schritt 7

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\tan (0) = - \frac{3}{4}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (0)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (0) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (0) = \frac{- 1}{\frac{3}{4}}$

Schritt 8.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cot (0) = - \frac{4}{3}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (0)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (0) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (0) = \frac{\frac{5}{4}}{- 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\sec (0)$ .

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Schritt 9.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{5}{4}}{- 1}$ .

$\sec (0) = - 1 \cdot \frac{5}{4}$

Schritt 9.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{5}{4}$ als $- \frac{5}{4}$ um.

$\sec (0) = - \frac{5}{4}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (0)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (0) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (0) = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Wert von $\csc (0)$ .

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Schritt 10.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (0) = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (0) = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Schritt 10.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (0) = 5 (\frac{1}{3})$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\csc (0) = \frac{5}{3}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (0) = \frac{3}{5}$

$\cos (0) = - \frac{4}{5}$

$\tan (0) = - \frac{3}{4}$

$\cot (0) = - \frac{4}{3}$

$\sec (0) = - \frac{5}{4}$

$\csc (0) = \frac{5}{3}$