Trigonometrie Beispiele

$\csc (x) = 8$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosekans, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes der Werte.

$\csc (x) = \frac{Hypotenuse}{gegenüber}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = - \sqrt{{(8)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(8)}^{2} - {(1)}^{2}}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{{(8)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{64 - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Ankathete $= - \sqrt{64 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Ankathete $= - \sqrt{64 - 1}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $1$ von $64$ .

Ankathete $= - \sqrt{63}$

Schritt 4.6

Schreibe $63$ als $3^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $9$ aus $63$ heraus.

Ankathete $= - \sqrt{9 (7)}$

Schritt 4.6.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{3^{2} \cdot 7}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Ankathete $= - (3 \sqrt{7})$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

Ankathete $= - 3 \sqrt{7}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{1}{8}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{- 3 \sqrt{7}}{8}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{7}}{8}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{1}{- 3 \sqrt{7}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{1}{3 \sqrt{7}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{1}{3 \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 \sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 7.3.3.2

Bewege $\sqrt{7}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Schritt 7.3.3.4

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Schritt 7.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 {\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 7.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 \cdot 7}$

Schritt 7.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{3 \cdot 7}$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{21}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{- 3 \sqrt{7}}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $- 3 \sqrt{7}$ durch $1$ .

$\cot (x) = - 3 \sqrt{7}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{8}{- 3 \sqrt{7}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\sec (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (x) = - \frac{8}{3 \sqrt{7}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{8}{3 \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (x) = - (\frac{8}{3 \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{3 \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 \sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 9.3.3.2

Bewege $\sqrt{7}$ .

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Schritt 9.3.3.4

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Schritt 9.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 {\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 9.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7}$

Schritt 9.3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{21}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{1}{8}$

$\cos (x) = - \frac{3 \sqrt{7}}{8}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{7}}{21}$

$\cot (x) = - 3 \sqrt{7}$

$\sec (x) = - \frac{8 \sqrt{7}}{21}$

$\csc (x) = 8$