Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x) = 2 (- \frac{24}{25}) (- \frac{7}{25})$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (2 x) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = - \sqrt{{(1)}^{2} - {(2 (- \frac{24}{25}))}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(1)}^{2} - {(2 (- \frac{24}{25}))}^{2}}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{{(1)}^{2} - {(2 (- \frac{24}{25}))}^{2}}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Ankathete $= - \sqrt{1 - {(2 (- \frac{24}{25}))}^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere $2 (- \frac{24}{25})$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{1 - {(- 2 (\frac{24}{25}))}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{24}{25}$ .

Ankathete $= - \sqrt{1 - {(\frac{- 2 \cdot 24}{25})}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $24$ .

Ankathete $= - \sqrt{1 - {(\frac{- 48}{25})}^{2}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Ankathete $= - \sqrt{1 - {(- \frac{48}{25})}^{2}}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{48}{25}$ an.

Ankathete $= - \sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{48}{25})}^{2})}$

Schritt 4.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{48}{25}$ an.

Ankathete $= - \sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} (\frac{48^{2}}{25^{2}}))}$

Schritt 4.6

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

Ankathete $= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{48^{2}}{25^{2}})}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.6.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

Ankathete $= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{48^{2}}{25^{2}}))}$

Schritt 4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Ankathete $= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{48^{2}}{25^{2}})}$

Schritt 4.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

Ankathete $= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{3} (\frac{48^{2}}{25^{2}})}$

Schritt 4.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

Ankathete $= - \sqrt{1 - \frac{48^{2}}{25^{2}}}$

Schritt 4.8

Potenziere $48$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{1 - \frac{2304}{25^{2}}}$

Schritt 4.9

Potenziere $25$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{1 - \frac{2304}{625}}$

Schritt 4.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

Ankathete $= - \sqrt{\frac{625}{625} - \frac{2304}{625}}$

Schritt 4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Ankathete $= - \sqrt{\frac{625 - 2304}{625}}$

Schritt 4.12

Subtrahiere $2304$ von $625$ .

Ankathete $= - \sqrt{\frac{- 1679}{625}}$

Schritt 4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Ankathete $= - \sqrt{- \frac{1679}{625}}$

Schritt 4.14

Schreibe $- \frac{1679}{625}$ als ${(\frac{i}{25})}^{2} \cdot 1679$ um.

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Schritt 4.14.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{i^{2} (\frac{1679}{625})}$

Schritt 4.14.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $1679$ heraus.

Ankathete $= - \sqrt{i^{2} (\frac{1^{2} \cdot 1679}{625})}$

Schritt 4.14.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $25^{2}$ aus $625$ heraus.

Ankathete $= - \sqrt{i^{2} (\frac{1^{2} \cdot 1679}{25^{2} \cdot 1})}$

Schritt 4.14.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 1679}{25^{2} \cdot 1}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{25})}^{2} \cdot 1679)}$

Schritt 4.14.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{25})}^{2}$ als ${(\frac{i}{25})}^{2}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{{(\frac{i}{25})}^{2} \cdot 1679}$

Schritt 4.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Ankathete $= - (\frac{i}{25} \cdot \sqrt{1679})$

Schritt 4.16

Kombiniere $\frac{i}{25}$ und $\sqrt{1679}$ .

Ankathete $= - \frac{i \sqrt{1679}}{25}$

Schritt 5

Vereinfache den Wert von $s i n e$ .

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Schritt 5.1

Multipliziere $2 (- \frac{24}{25})$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sin (2 x) = - 2 (\frac{24}{25}) \cdot (- \frac{7}{25})$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{24}{25}$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 2 \cdot 24}{25} \cdot (- \frac{7}{25})$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $24$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 48}{25} \cdot (- \frac{7}{25})$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (2 x) = - \frac{48}{25} \cdot (- \frac{7}{25})$

Schritt 5.3

Multipliziere $- \frac{48}{25} (- \frac{7}{25})$ .

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin (2 x) = 1 (\frac{48}{25}) \cdot \frac{7}{25}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{48}{25}$ mit $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{48}{25} \cdot \frac{7}{25}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $\frac{48}{25}$ mit $\frac{7}{25}$ .

$\sin (2 x) = \frac{48 \cdot 7}{25 \cdot 25}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $48$ mit $7$ .

$\sin (2 x) = \frac{336}{25 \cdot 25}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $25$ mit $25$ .

$\sin (2 x) = \frac{336}{625}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (2 x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (2 x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (2 x) = \frac{- \frac{i \sqrt{1679}}{25}}{1}$

Schritt 6.3

Dividiere $- \frac{i \sqrt{1679}}{25}$ durch $1$ .

$\cos (2 x) = - \frac{i \sqrt{1679}}{25}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (2 x)$ zu ermitteln.

$\tan (2 x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (2 x) = \frac{2 (- \frac{24}{25})}{- \frac{i \sqrt{1679}}{25}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (2 x)$ .

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Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\tan (2 x) = \frac{2 (\frac{24}{25})}{\frac{i \sqrt{1679}}{25}}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\tan (2 x) = 2 (\frac{24}{25}) \cdot \frac{25}{i \sqrt{1679}}$

Schritt 7.3.3

Multipliziere $2 (\frac{24}{25})$ .

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Schritt 7.3.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{24}{25}$ .

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 24}{25} \cdot \frac{25}{i \sqrt{1679}}$

Schritt 7.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$\tan (2 x) = \frac{48}{25} \cdot \frac{25}{i \sqrt{1679}}$

Schritt 7.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 7.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (2 x) = \frac{48}{25} \cdot \frac{25}{i \sqrt{1679}}$

Schritt 7.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (2 x) = 48 (\frac{1}{i \sqrt{1679}})$

Schritt 7.3.5

Kombiniere $48$ und $\frac{1}{i \sqrt{1679}}$ .

$\tan (2 x) = \frac{48}{i \sqrt{1679}}$

Schritt 7.3.6

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{48}{40.97560249 i}$ mit der Konjugierten von $40.97560249 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\tan (2 x) = \frac{48}{40.97560249 i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 7.3.7

Multipliziere.

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Schritt 7.3.7.1

Kombinieren.

$\tan (2 x) = \frac{48 i}{40.97560249 i i}$

Schritt 7.3.7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.7.2.1

Füge Klammern hinzu.

$\tan (2 x) = \frac{48 i}{40.97560249 (i i)}$

Schritt 7.3.7.2.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{48 i}{40.97560249 (i i)}$

Schritt 7.3.7.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{48 i}{40.97560249 (i i)}$

Schritt 7.3.7.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (2 x) = \frac{48 i}{40.97560249 i^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.7.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{48 i}{40.97560249 i^{2}}$

Schritt 7.3.7.2.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\tan (2 x) = \frac{48 i}{40.97560249 \cdot - 1}$

Schritt 7.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.8.1

Mutltipliziere $40.97560249$ mit $- 1$ .

$\tan (2 x) = \frac{48 i}{- 40.97560249}$

Schritt 7.3.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (2 x) = - \frac{48 i}{40.97560249}$

Schritt 7.3.9

Faktorisiere $48$ aus $48 i$ heraus.

$\tan (2 x) = - \frac{48 (i)}{40.97560249}$

Schritt 7.3.10

Faktorisiere $40.97560249$ aus $40.97560249$ heraus.

$\tan (2 x) = - \frac{48 (i)}{40.97560249 (1)}$

Schritt 7.3.11

Separiere Brüche.

$\tan (2 x) = - (\frac{48}{40.97560249} \cdot \frac{i}{1})$

Schritt 7.3.12

Dividiere $48$ durch $40.97560249$ .

$\tan (2 x) = - (1.17142877 (\frac{i}{1}))$

Schritt 7.3.13

Dividiere $i$ durch $1$ .

$\tan (2 x) = - (1.17142877 i)$

Schritt 7.3.14

Mutltipliziere $1.17142877$ mit $- 1$ .

$\tan (2 x) = - 1.17142877 i$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (2 x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (2 x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (2 x) = \frac{- \frac{i \sqrt{1679}}{25}}{2 (- \frac{24}{25})}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\cot (2 x)$ .

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Schritt 8.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (2 x) = \frac{\frac{i \sqrt{1679}}{25}}{2 (\frac{24}{25})}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cot (2 x) = \frac{i \sqrt{1679}}{25} \cdot \frac{1}{2 (\frac{24}{25})}$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{24}{25}$ .

$\cot (2 x) = \frac{i \sqrt{1679}}{25} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 24}{25}}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$\cot (2 x) = \frac{i \sqrt{1679}}{25} \cdot \frac{1}{\frac{48}{25}}$

Schritt 8.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cot (2 x) = \frac{i \sqrt{1679}}{25} \cdot (1 (\frac{25}{48}))$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $\frac{25}{48}$ mit $1$ .

$\cot (2 x) = \frac{i \sqrt{1679}}{25} \cdot \frac{25}{48}$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 8.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (2 x) = \frac{i \sqrt{1679}}{25} \cdot \frac{25}{48}$

Schritt 8.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (2 x) = i \sqrt{1679} (\frac{1}{48})$

Schritt 8.3.8

Kombiniere $\frac{1}{48}$ und $i$ .

$\cot (2 x) = \frac{i}{48} \cdot \sqrt{1679}$

Schritt 8.3.9

Kombiniere $\frac{i}{48}$ und $\sqrt{1679}$ .

$\cot (2 x) = \frac{i \sqrt{1679}}{48}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (2 x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (2 x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (2 x) = \frac{1}{- \frac{i \sqrt{1679}}{25}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\sec (2 x)$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 9.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\sec (2 x) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{i \sqrt{1679}}{25}}$

Schritt 9.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (2 x) = - \frac{1}{\frac{i \sqrt{1679}}{25}}$

Schritt 9.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sec (2 x) = - (1 (\frac{25}{i \sqrt{1679}}))$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{25}{i \sqrt{1679}}$ mit $1$ .

$\sec (2 x) = - \frac{25}{i \sqrt{1679}}$

Schritt 9.3.4

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{25}{40.97560249 i}$ mit der Konjugierten von $40.97560249 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\sec (2 x) = - (\frac{25}{40.97560249 i} \cdot \frac{i}{i})$

Schritt 9.3.5

Multipliziere.

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Schritt 9.3.5.1

Kombinieren.

$\sec (2 x) = - \frac{25 i}{40.97560249 i i}$

Schritt 9.3.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.5.2.1

Füge Klammern hinzu.

$\sec (2 x) = - \frac{25 i}{40.97560249 (i i)}$

Schritt 9.3.5.2.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\sec (2 x) = - \frac{25 i}{40.97560249 (i i)}$

Schritt 9.3.5.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\sec (2 x) = - \frac{25 i}{40.97560249 (i i)}$

Schritt 9.3.5.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (2 x) = - \frac{25 i}{40.97560249 i^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.5.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (2 x) = - \frac{25 i}{40.97560249 i^{2}}$

Schritt 9.3.5.2.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\sec (2 x) = - \frac{25 i}{40.97560249 \cdot - 1}$

Schritt 9.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.6.1

Mutltipliziere $40.97560249$ mit $- 1$ .

$\sec (2 x) = - \frac{25 i}{- 40.97560249}$

Schritt 9.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (2 x) = \frac{25 i}{40.97560249}$

Schritt 9.3.7

Faktorisiere $25$ aus $25 i$ heraus.

$\sec (2 x) = \frac{25 (i)}{40.97560249}$

Schritt 9.3.8

Faktorisiere $40.97560249$ aus $40.97560249$ heraus.

$\sec (2 x) = \frac{25 (i)}{40.97560249 (1)}$

Schritt 9.3.9

Separiere Brüche.

$\sec (2 x) = \frac{25}{40.97560249} \cdot \frac{i}{1}$

Schritt 9.3.10

Dividiere $25$ durch $40.97560249$ .

$\sec (2 x) = 0.61011915 (\frac{i}{1})$

Schritt 9.3.11

Dividiere $i$ durch $1$ .

$\sec (2 x) = 0.61011915 i$

Schritt 9.3.12

Mutltipliziere $0.61011915$ mit $- 1$ .

$\sec (2 x) = - (- 0.61011915 i)$

Schritt 9.3.13

Mutltipliziere $- 0.61011915$ mit $- 1$ .

$\sec (2 x) = 0.61011915 i$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (2 x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (2 x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (2 x) = \frac{1}{2 (- \frac{24}{25})}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Wert von $\csc (2 x)$ .

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\csc (2 x) = \frac{- 1 \cdot - 1}{2 (- \frac{24}{25})}$

Schritt 10.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (2 x) = - \frac{1}{2 (\frac{24}{25})}$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{24}{25}$ .

$\csc (2 x) = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 24}{25}}$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$\csc (2 x) = - \frac{1}{\frac{48}{25}}$

Schritt 10.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (2 x) = - (1 (\frac{25}{48}))$

Schritt 10.3.5

Mutltipliziere $\frac{25}{48}$ mit $1$ .

$\csc (2 x) = - \frac{25}{48}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (2 x) = \frac{336}{625}$

$\cos (2 x) = - \frac{i \sqrt{1679}}{25}$

$\tan (2 x) = - 1.17142877 i$

$\cot (2 x) = \frac{i \sqrt{1679}}{48}$

$\sec (2 x) = 0.61011915 i$

$\csc (2 x) = - \frac{25}{48}$