Trigonometrie Beispiele

$y = 3 \tan (\frac{x}{4})$

Schritt 1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \tan (\frac{x}{4})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 3 \tan (\frac{x}{4})$ auftritt.

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2}$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{x}{4} = 4 (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $4 (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = 4 \frac{- π}{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 (2) \frac{- π}{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \cdot 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- π)$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 π$

Schritt 3

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{x}{4}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 (2) \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \cdot 2 \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 π$

Schritt 5

Die fundamentale Periode für $y = 3 \tan (\frac{x}{4})$ tritt auf bei $(- 2 π, 2 π)$ , wobei $- 2 π$ und $2 π$ vertikale Asymptoten sind.

$(- 2 π, 2 π)$

Schritt 6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 6.1

$\frac{1}{4}$ ist ungefähr $0.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 4$

Schritt 6.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$4 π$

Schritt 7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \tan (\frac{x}{4})$ treten auf bei $- 2 π$ , $2 π$ und aller $4 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = 2 π + 4 π n$

Schritt 8

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 2 π + 4 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 9