Trigonometrie Beispiele

$y = 2 \tan (\frac{π}{6} x)$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{π}{6}$ und $x$ .

$y = 2 \tan (\frac{π x}{6})$

Schritt 2

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \tan (\frac{π x}{6})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 2 \tan (\frac{π x}{6})$ auftritt.

$\frac{π x}{6} = - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{6}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{6}{π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $\frac{6}{π} (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{6}{π} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 (3)}{π} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 3}{π} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{π} (- π)$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{3}{π} (π \cdot - 1)$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{π} (π \cdot - 1)$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \cdot - 1$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = - 3$

Schritt 4

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{π x}{6}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{6} = \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\frac{6}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 (3)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 3}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{π} π$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{π} π$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3$

Schritt 6

Die fundamentale Periode für $y = 2 \tan (\frac{π x}{6})$ tritt auf bei $(- 3, 3)$ , wobei $- 3$ und $3$ vertikale Asymptoten sind.

$(- 3, 3)$

Schritt 7

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 7.1

$\frac{π}{6}$ ist ungefähr $0.52359877$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{π}{6}}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{6}{π}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{6}{π}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$6$

Schritt 8

Die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \tan (\frac{π x}{6})$ treten auf bei $- 3$ , $3$ und aller $6 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = 3 + 6 n$

Schritt 9

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 3 + 6 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 10