Trigonometrie Beispiele

$x^{4} + 6 x^{3} + 2 x^{2} + 54 x - 63$

Schritt 1

Setze $x^{4} + 6 x^{3} + 2 x^{2} + 54 x - 63$ gleich $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} + 2 x^{2} + 54 x - 63 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$6 x^{3} + 54 x + x^{4} + 2 x^{2} - 63 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3} + 54 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$6 x (x^{2}) + 54 x + x^{4} + 2 x^{2} - 63 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $6 x$ aus $54 x$ heraus.

$6 x (x^{2}) + 6 x (9) + x^{4} + 2 x^{2} - 63 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{2}) + 6 x (9)$ heraus.

$6 x (x^{2} + 9) + x^{4} + 2 x^{2} - 63 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$6 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 63 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 9) + u^{2} + 2 u - 63 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 63$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 63$ und deren Summe $2$ ist.

$- 7, 9$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 x (x^{2} + 9) + (u - 7) (u + 9) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 7) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $6 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 7) (x^{2} + 9)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $6 x (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (6 x) + (x^{2} - 7) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} - 7) (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (6 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} + 9) (6 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 7)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (6 x + x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 9) (6 u + u^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere $6 u + u^{2} - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $6$ ist.

$- 1, 7$

Schritt 2.1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 9) ((u - 1) (u + 7)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 7)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 9) (x - 1) (x + 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 2.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.3.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 2.3.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 9) (x - 1) (x + 7) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 3 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 3 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 1$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 7$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 3 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 3 i$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 1$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = - 7$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3