Trigonometrie Beispiele

$\cos (- x) = - \frac{\sqrt{2}}{5}$

Schritt 1

Use the opposite angle identity that states that $c o s (- x) = c o s (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{5}$

Schritt 2

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (x) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 3

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(5)}^{2} - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{25 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

Gegenkathete $= \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 5.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

Gegenkathete $= \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Gegenkathete $= \sqrt{25 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

Gegenkathete $= \sqrt{25 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

Gegenkathete $= \sqrt{25 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Gegenkathete $= \sqrt{25 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{25 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{25 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Gegenkathete $= \sqrt{25 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Gegenkathete $= \sqrt{25 - 2}$

Schritt 5.5.5

Berechne den Exponenten.

Gegenkathete $= \sqrt{25 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{25 - 2}$

Schritt 5.7

Subtrahiere $2$ von $25$ .

Gegenkathete $= \sqrt{23}$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{23}}{5}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{23}}{- \sqrt{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23 \cdot 2}}{2}$

Schritt 7.3.4.2

Mutltipliziere $23$ mit $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{46}}{2}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{23}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\cot (x)$ .

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{23}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{23}}$ mit $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$ .

$\cot (x) = - (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{23}} \cdot \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}})$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{23}}$ mit $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $\sqrt{23}$ mit $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{23}$ mit $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Schritt 8.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{{\sqrt{23}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{{\sqrt{23}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{23}}^{2}$ als $23$ um.

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Schritt 8.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{23}$ als $23^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{{(23^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23}$

Schritt 8.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2 \cdot 23}}{23}$

Schritt 8.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $23$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{46}}{23}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{5}{- \sqrt{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\sec (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (x) = - \frac{5}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = - (\frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{23}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Wert von $\csc (x)$ .

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{23}}$ mit $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$ .

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{23}} \cdot \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$

Schritt 10.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{23}}$ mit $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Schritt 10.3.2.2

Potenziere $\sqrt{23}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Schritt 10.3.2.3

Potenziere $\sqrt{23}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Schritt 10.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{{\sqrt{23}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{{\sqrt{23}}^{2}}$

Schritt 10.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{23}}^{2}$ als $23$ um.

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Schritt 10.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{23}$ als $23^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{{(23^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23}$

Schritt 10.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{23}}{5}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{5}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{46}}{2}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{46}}{23}$

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23}$