Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) = \frac{875}{350}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (x) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(875)}^{2} + {(350)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $875$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{765625 + {(350)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $350$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{765625 + 122500}$

Schritt 4.3

Addiere $765625$ und $122500$ .

Hypothenuse $= \sqrt{888125}$

Schritt 4.4

Schreibe $888125$ als $175^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $30625$ aus $888125$ heraus.

Hypothenuse $= \sqrt{30625 (29)}$

Schritt 4.4.2

Schreibe $30625$ als $175^{2}$ um.

Hypothenuse $= \sqrt{175^{2} \cdot 29}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Hypothenuse $= 175 \sqrt{29}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{875}{175 \sqrt{29}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $875$ und $175$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $175$ aus $875$ heraus.

$\sin (x) = \frac{175 \cdot 5}{175 \sqrt{29}}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $175$ aus $175 \sqrt{29}$ heraus.

$\sin (x) = \frac{175 \cdot 5}{175 (\sqrt{29})}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{175 \cdot 5}{175 \sqrt{29}}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x) = \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

Schritt 5.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 5.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{29}}^{2}$ als $29$ um.

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Schritt 5.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{29}$ als $29^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$

Schritt 5.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{350}{175 \sqrt{29}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $350$ und $175$ .

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $175$ aus $350$ heraus.

$\cos (x) = \frac{175 \cdot 2}{175 \sqrt{29}}$

Schritt 6.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.2.1

Faktorisiere $175$ aus $175 \sqrt{29}$ heraus.

$\cos (x) = \frac{175 \cdot 2}{175 (\sqrt{29})}$

Schritt 6.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{175 \cdot 2}{175 \sqrt{29}}$

Schritt 6.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{2}{\sqrt{29}}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\cos (x) = \frac{2}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

Schritt 6.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 6.3.3.2

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 6.3.3.3

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 6.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{29}}^{2}$ als $29$ um.

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Schritt 6.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{29}$ als $29^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

Schritt 6.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $875$ und $350$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $175$ aus $875$ heraus.

$\tan (x) = \frac{175 (5)}{350}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $175$ aus $350$ heraus.

$\tan (x) = \frac{175 \cdot 5}{175 \cdot 2}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{175 \cdot 5}{175 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{5}{2}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{350}{875}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $350$ und $875$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $175$ aus $350$ heraus.

$\cot (x) = \frac{175 (2)}{875}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $175$ aus $875$ heraus.

$\cot (x) = \frac{175 \cdot 2}{175 \cdot 5}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{175 \cdot 2}{175 \cdot 5}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{2}{5}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{175 \sqrt{29}}{350}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $175$ und $350$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $175$ aus $175 \sqrt{29}$ heraus.

$\sec (x) = \frac{175 (\sqrt{29})}{350}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $175$ aus $350$ heraus.

$\sec (x) = \frac{175 \sqrt{29}}{175 \cdot 2}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \frac{175 \sqrt{29}}{175 \cdot 2}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{29}}{2}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{175 \sqrt{29}}{875}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $175$ und $875$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $175$ aus $175 \sqrt{29}$ heraus.

$\csc (x) = \frac{175 (\sqrt{29})}{875}$

Schritt 10.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $175$ aus $875$ heraus.

$\csc (x) = \frac{175 \sqrt{29}}{175 \cdot 5}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{175 \sqrt{29}}{175 \cdot 5}$

Schritt 10.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{29}}{5}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

$\tan (x) = \frac{5}{2}$

$\cot (x) = \frac{2}{5}$

$\sec (x) = \frac{\sqrt{29}}{2}$

$\csc (x) = \frac{\sqrt{29}}{5}$