Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{17}}{17}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (x) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(17)}^{2} - {(3 \sqrt{17})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $17$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{289 - {(3 \sqrt{17})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{17}$ an.

Gegenkathete $= \sqrt{289 - (3^{2} {\sqrt{17}}^{2})}$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{289 - (9 {\sqrt{17}}^{2})}$

Schritt 4.4

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Gegenkathete $= \sqrt{289 - (9 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{289 - (9 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{289 - (9 \cdot 17^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Gegenkathete $= \sqrt{289 - (9 \cdot 17^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

Gegenkathete $= \sqrt{289 - (9 \cdot 17)}$

Schritt 4.4.5

Berechne den Exponenten.

Gegenkathete $= \sqrt{289 - (9 \cdot 17)}$

Schritt 4.5

Multipliziere $- (9 \cdot 17)$ .

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $17$ .

Gegenkathete $= \sqrt{289 - 1 \cdot 153}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $153$ .

Gegenkathete $= \sqrt{289 - 153}$

Schritt 4.6

Subtrahiere $153$ von $289$ .

Gegenkathete $= \sqrt{136}$

Schritt 4.7

Schreibe $136$ als $2^{2} \cdot 34$ um.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $4$ aus $136$ heraus.

Gegenkathete $= \sqrt{4 (34)}$

Schritt 4.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Gegenkathete $= \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

Schritt 4.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Gegenkathete $= 2 \sqrt{34}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{34}}{17}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{34}}{3 \sqrt{17}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.3.1

Vereinige $\sqrt{34}$ und $\sqrt{17}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{\frac{34}{17}}}{3}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $34$ und $17$ .

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $17$ aus $34$ heraus.

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{\frac{17 \cdot 2}{17}}}{3}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $17$ aus $17$ heraus.

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{\frac{17 \cdot 2}{17 (1)}}}{3}$

Schritt 6.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{\frac{17 \cdot 2}{17 \cdot 1}}}{3}$

Schritt 6.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{\frac{2}{1}}}{3}$

Schritt 6.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{17}}{2 \sqrt{34}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Vereinige $\sqrt{17}$ und $\sqrt{34}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{\frac{17}{34}}}{2}$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $17$ und $34$ .

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $17$ aus $17$ heraus.

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{\frac{17 (1)}{34}}}{2}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.2.1

Faktorisiere $17$ aus $34$ heraus.

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{\frac{17 \cdot 1}{17 \cdot 2}}}{2}$

Schritt 7.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{\frac{17 \cdot 1}{17 \cdot 2}}}{2}$

Schritt 7.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}})}{2}$

Schritt 7.3.3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{1}{\sqrt{2}})}{2}$

Schritt 7.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.3.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$

Schritt 7.3.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = \frac{3 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$

Schritt 7.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cot (x) = \frac{\frac{3 \sqrt{2}}{2}}{2}$

Schritt 7.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.6

Multipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{17}{3 \sqrt{17}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (x)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{17}{3 \sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\sec (x) = \frac{17}{3 \sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{17}{3 \sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 \sqrt{17} \sqrt{17}}$

Schritt 8.3.2.2

Bewege $\sqrt{17}$ .

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 (\sqrt{17} \sqrt{17})}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 (\sqrt{17} \sqrt{17})}$

Schritt 8.3.2.4

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 (\sqrt{17} \sqrt{17})}$

Schritt 8.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 {\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 {\sqrt{17}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Schritt 8.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 \cdot 17}$

Schritt 8.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 \cdot 17}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \frac{17 \sqrt{17}}{3 \cdot 17}$

Schritt 8.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{17}}{3}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{17}{2 \sqrt{34}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{17}{2 \sqrt{34}}$ mit $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\csc (x) = \frac{17}{2 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Schritt 9.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{17}{2 \sqrt{34}}$ mit $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 \sqrt{34} \sqrt{34}}$

Schritt 9.3.2.2

Bewege $\sqrt{34}$ .

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 (\sqrt{34} \sqrt{34})}$

Schritt 9.3.2.3

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 (\sqrt{34} \sqrt{34})}$

Schritt 9.3.2.4

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 (\sqrt{34} \sqrt{34})}$

Schritt 9.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 {\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 {\sqrt{34}}^{2}}$

Schritt 9.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{34}}^{2}$ als $34$ um.

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Schritt 9.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{34}$ als $34^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 \cdot 34^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 \cdot 34^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 \cdot 34}$

Schritt 9.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{2 \cdot 34}$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $17$ und $34$ .

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $17$ aus $17 \sqrt{34}$ heraus.

$\csc (x) = \frac{17 (\sqrt{34})}{2 \cdot 34}$

Schritt 9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $17$ aus $2 \cdot 34$ heraus.

$\csc (x) = \frac{17 (\sqrt{34})}{17 (2 \cdot 2)}$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{17 \sqrt{34}}{17 (2 \cdot 2)}$

Schritt 9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{34}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\csc (x) = \frac{\sqrt{34}}{4}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{34}}{17}$

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{17}}{17}$

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cot (x) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

$\sec (x) = \frac{\sqrt{17}}{3}$

$\csc (x) = \frac{\sqrt{34}}{4}$