Trigonometrie Beispiele

$\csc (x) = 15$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosekans, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes der Werte.

$\csc (x) = \frac{Hypotenuse}{gegenüber}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(15)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{225 - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Ankathete $= \sqrt{225 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Ankathete $= \sqrt{225 - 1}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $1$ von $225$ .

Ankathete $= \sqrt{224}$

Schritt 4.5

Schreibe $224$ als $4^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $16$ aus $224$ heraus.

Ankathete $= \sqrt{16 (14)}$

Schritt 4.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

Ankathete $= \sqrt{4^{2} \cdot 14}$

Schritt 4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

Ankathete $= 4 \sqrt{14}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{1}{15}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{4 \sqrt{14}}{15}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{1}{4 \sqrt{14}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4 \sqrt{14}}$ mit $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{4 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$

Schritt 7.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4 \sqrt{14}}$ mit $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 \sqrt{14} \sqrt{14}}$

Schritt 7.3.2.2

Bewege $\sqrt{14}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Schritt 7.3.2.3

Potenziere $\sqrt{14}$ mit $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Schritt 7.3.2.4

Potenziere $\sqrt{14}$ mit $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Schritt 7.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 {\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 {\sqrt{14}}^{2}}$

Schritt 7.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

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Schritt 7.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 \cdot 14}$

Schritt 7.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{4 \cdot 14}$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $14$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{56}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{4 \sqrt{14}}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $4 \sqrt{14}$ durch $1$ .

$\cot (x) = 4 \sqrt{14}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{15}{4 \sqrt{14}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\sec (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{15}{4 \sqrt{14}}$ mit $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\sec (x) = \frac{15}{4 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$

Schritt 9.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{15}{4 \sqrt{14}}$ mit $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 \sqrt{14} \sqrt{14}}$

Schritt 9.3.2.2

Bewege $\sqrt{14}$ .

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Schritt 9.3.2.3

Potenziere $\sqrt{14}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Schritt 9.3.2.4

Potenziere $\sqrt{14}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Schritt 9.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 {\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 {\sqrt{14}}^{2}}$

Schritt 9.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

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Schritt 9.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 \cdot 14}$

Schritt 9.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{4 \cdot 14}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $14$ .

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{56}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{1}{15}$

$\cos (x) = \frac{4 \sqrt{14}}{15}$

$\tan (x) = \frac{\sqrt{14}}{56}$

$\cot (x) = 4 \sqrt{14}$

$\sec (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{56}$

$\csc (x) = 15$