Trigonometrie Beispiele

$\cos (a) = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (a) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(7)}^{2} - {(\sqrt{7})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{49 - {(\sqrt{7})}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Gegenkathete $= \sqrt{49 - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{49 - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{49 - 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Gegenkathete $= \sqrt{49 - 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

Gegenkathete $= \sqrt{49 - 7}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

Gegenkathete $= \sqrt{49 - 1 \cdot 7}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

Gegenkathete $= \sqrt{49 - 7}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $7$ von $49$ .

Gegenkathete $= \sqrt{42}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (a)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (a) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (a) = \frac{\sqrt{42}}{7}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (a)$ zu ermitteln.

$\tan (a) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (a) = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{7}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\tan (a)$ .

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Schritt 6.3.1

Vereinige $\sqrt{42}$ und $\sqrt{7}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\tan (a) = \sqrt{\frac{42}{7}}$

Schritt 6.3.2

Dividiere $42$ durch $7$ .

$\tan (a) = \sqrt{6}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (a)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (a) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{42}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (a)$ .

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Schritt 7.3.1

Vereinige $\sqrt{7}$ und $\sqrt{42}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{7}{42}}$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7$ und $42$ .

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{7 (1)}{42}}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $42$ heraus.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 6}}$

Schritt 7.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 6}}$

Schritt 7.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{1}{6}}$

Schritt 7.3.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{6}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}}$ um.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}}$

Schritt 7.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cot (a) = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (a) = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 7.3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.6.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.6.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 7.3.6.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 7.3.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Schritt 7.3.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (a)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (a) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (a) = \frac{7}{\sqrt{7}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (a)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (a) = \frac{7}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 8.3.2.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 8.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 8.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 8.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (a) = \frac{7 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 8.3.3.2

Dividiere $\sqrt{7}$ durch $1$ .

$\sec (a) = \sqrt{7}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (a)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (a) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (a) = \frac{7}{\sqrt{42}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (a)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{42}}$ mit $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\csc (a) = \frac{7}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$

Schritt 9.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{42}}$ mit $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Schritt 9.3.2.2

Potenziere $\sqrt{42}$ mit $1$ .

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Schritt 9.3.2.3

Potenziere $\sqrt{42}$ mit $1$ .

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Schritt 9.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{42}}^{2}$ als $42$ um.

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Schritt 9.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{42}$ als $42^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{42}$

Schritt 9.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{42}$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7$ und $42$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $7$ aus $7 \sqrt{42}$ heraus.

$\csc (a) = \frac{7 (\sqrt{42})}{42}$

Schritt 9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $7$ aus $42$ heraus.

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{7 \cdot 6}$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (a) = \frac{7 \sqrt{42}}{7 \cdot 6}$

Schritt 9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (a) = \frac{\sqrt{42}}{6}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (a) = \frac{\sqrt{42}}{7}$

$\cos (a) = \frac{\sqrt{7}}{7}$

$\tan (a) = \sqrt{6}$

$\cot (a) = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\sec (a) = \sqrt{7}$

$\csc (a) = \frac{\sqrt{42}}{6}$