Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{1 + 3 \sqrt{34}}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{1 + 3 \sqrt{34}}$ mit $\frac{1 - 3 \sqrt{34}}{1 - 3 \sqrt{34}}$ .

$\sqrt{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{1 + 3 \sqrt{34}} \cdot \frac{1 - 3 \sqrt{34}}{1 - 3 \sqrt{34}}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{1 + 3 \sqrt{34}}$ mit $\frac{1 - 3 \sqrt{34}}{1 - 3 \sqrt{34}}$ .

$\sqrt{\frac{(34 - 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})}{(1 + 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})}}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{\frac{(34 - 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})}{1 - 3 \sqrt{34} + 3 \sqrt{34} - 9 {\sqrt{34}}^{2}}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\sqrt{\frac{(34 - 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 3

Multipliziere $(34 - 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{34 (1 - 3 \sqrt{34}) - 3 \sqrt{34} (1 - 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{34 \cdot 1 + 34 (- 3 \sqrt{34}) - 3 \sqrt{34} (1 - 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{34 \cdot 1 + 34 (- 3 \sqrt{34}) - 3 \sqrt{34} \cdot 1 - 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $34$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{34 + 34 (- 3 \sqrt{34}) - 3 \sqrt{34} \cdot 1 - 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $34$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} \cdot 1 - 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $- 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})$ .

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \sqrt{34} \sqrt{34}}{- 305}}$

Schritt 4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 4.1.4.3

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})}{- 305}}$

Schritt 4.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 {\sqrt{34}}^{1 + 1}}{- 305}}$

Schritt 4.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 {\sqrt{34}}^{2}}{- 305}}$

Schritt 4.1.5

Schreibe ${\sqrt{34}}^{2}$ als $34$ um.

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Schritt 4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{34}$ als $34^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 305}}$

Schritt 4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 305}}$

Schritt 4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34^{\frac{2}{2}}}{- 305}}$

Schritt 4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34^{\frac{2}{2}}}{- 305}}$

Schritt 4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34^{1}}{- 305}}$

Schritt 4.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34}{- 305}}$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $34$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 306}{- 305}}$

Schritt 4.2

Addiere $34$ und $306$ .

$\sqrt{\frac{340 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34}}{- 305}}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $3 \sqrt{34}$ von $- 102 \sqrt{34}$ .

$\sqrt{\frac{340 - 105 \sqrt{34}}{- 305}}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $340 - 105 \sqrt{34}$ und $- 305$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $5$ aus $340$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (68) - 105 \sqrt{34}}{- 305}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $5$ aus $- 105 \sqrt{34}$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (68) + 5 (- 21 \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (68) + 5 (- 21 \sqrt{34})$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (68 - 21 \sqrt{34})}{- 305}}$

Schritt 5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 305$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (68 - 21 \sqrt{34})}{5 \cdot - 61}}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 (68 - 21 \sqrt{34})}{5 \cdot - 61}}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{68 - 21 \sqrt{34}}{- 61}}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{- \frac{68 - 21 \sqrt{34}}{61}}$

Schritt 6.2

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$\sqrt{i^{2} \frac{68 - 21 \sqrt{34}}{61}}$

Schritt 7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$i \sqrt{\frac{68 - 21 \sqrt{34}}{61}}$

Schritt 8

Schreibe $\sqrt{\frac{68 - 21 \sqrt{34}}{61}}$ als $\frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}}$ um.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}}$ mit $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$i (\frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}})$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}}$ mit $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $\sqrt{61}$ mit $1$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Schritt 10.1.3

Potenziere $\sqrt{61}$ mit $1$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Schritt 10.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Schritt 10.1.6

Schreibe ${\sqrt{61}}^{2}$ als $61$ um.

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Schritt 10.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{61}$ als $61^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61^{1}}$

Schritt 10.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61}$

Schritt 10.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$i \frac{\sqrt{(68 - 21 \sqrt{34}) \cdot 61}}{61}$

Schritt 10.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{(68 - 21 \sqrt{34}) \cdot 61}}{61}$ .

$\frac{i \sqrt{(68 - 21 \sqrt{34}) \cdot 61}}{61}$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{i \sqrt{68 \cdot 61 - 21 \sqrt{34} \cdot 61}}{61}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $68$ mit $61$ .

$\frac{i \sqrt{4148 - 21 \sqrt{34} \cdot 61}}{61}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $61$ mit $- 21$ .

$\frac{i \sqrt{4148 - 1281 \sqrt{34}}}{61}$