Trigonometrie Beispiele

$\frac{9 - x^{2}}{10 x^{2} - 28 x - 6}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - x^{2}}{10 x^{2} - 28 x - 6}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{10 x^{2} - 28 x - 6}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{2} - 28 x - 6$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x^{2}) - 28 x - 6}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 28 x$ heraus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x^{2}) + 2 (- 14 x) - 6}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x^{2}) + 2 (- 14 x) + 2 (- 3)}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x^{2}) + 2 (- 14 x)$ heraus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x^{2} - 14 x) + 2 (- 3)}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x^{2} - 14 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x^{2} - 14 x - 3)}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ und deren Summe gleich $b = - 14$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 14$ aus $- 14 x$ heraus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x^{2} - 14 (x) - 3)}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 14$ um als $1$ plus $- 15$

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x^{2} + (1 - 15) x - 3)}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x^{2} + 1 x - 15 x - 3)}$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x^{2} + x - 15 x - 3)}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 ((5 x^{2} + x) - 15 x - 3)}$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (x (5 x + 1) - 3 (5 x + 1))}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 1$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 ((5 x + 1) (x - 3))}$

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{2 (5 x + 1) (x - 3)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - x$ und $x - 3$ .

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Schritt 3.1.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{(3 + x) (- 1 (- 3) - x)}{2 (5 x + 1) (x - 3)}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(3 + x) (- 1 (- 3) - (x))}{2 (5 x + 1) (x - 3)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (x)$ heraus.

$\frac{(3 + x) (- 1 (- 3 + x))}{2 (5 x + 1) (x - 3)}$

Schritt 3.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(3 + x) (- 1 (x - 3))}{2 (5 x + 1) (x - 3)}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 + x) (- 1 (x - 3))}{2 (5 x + 1) (x - 3)}$

Schritt 3.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 + x) \cdot (- 1)}{2 (5 x + 1)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $3 + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (3 + x)}{2 (5 x + 1)}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 + x}{2 (5 x + 1)}$