Trigonometrie Beispiele

sin (\frac{π}{12})

$\sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann

\frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$ in

\frac{π}{3} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ aufgeteilt werden.

sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

Schritt 2

Wende die Differenzformel für den Sinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass

sin (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B)

$\sin (A - B) = \sin (A) \cos (B) - \cos (A) \sin (B)$ .

sin (\frac{π}{3}) cos (\frac{π}{4}) - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

sin (\frac{π}{3}) cos (\frac{π}{4}) - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von

sin (\frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{3})$ ist

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\frac{\sqrt{3}}{2} cos (\frac{π}{4}) - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4.2

Der genau Wert von

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ ist

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4.3

Multipliziere

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - cos (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4.4

Der genau Wert von

$\cos (\frac{π}{3})$ ist

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4.5

Der genau Wert von

$\sin (\frac{π}{4})$ ist

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.6

Multipliziere

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$0.25881904 \dots$