Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sec (x)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{2} + \sec (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{2} + \sec (x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $arcsec (- \sqrt{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.4

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 2.5.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 2.5.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.6

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.7

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze das Argument in $\sec (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + 2 π n, x \neq \frac{5 π}{4} + 2 π n, x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5