Trigonometrie Beispiele

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x - 10}{x^{2} + 3 x - 1}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x - 10}{x^{2} + 3 x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $9$ und $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $9$ und $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Schritt 2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 2.4.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{13}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{13})}{2}$

Schritt 2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{13})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{13})}{2}$

Schritt 2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $9$ und $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Schritt 2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 2.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{13}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{13})}{2}$

Schritt 2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{13})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{13})}{2}$

Schritt 2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) \cup (- \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}) \cup (- \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}}$

Schritt 4