Trigonometrie Beispiele

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

Schritt 2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $- 4 \cos (2 x)$ als $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

Schritt 2.1.3

Füge Klammern hinzu.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Schritt 4

Setze den Radikanden in $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Term in $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.1.2.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\cos (2 x) \leq 0$

Schritt 5.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x \leq \arccos (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x \leq \frac{π}{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x \leq \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \leq \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x \leq \frac{π}{4}$

Schritt 5.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.6.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.6.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 5.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 5.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 5.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.6.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.6.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.7

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 5.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 5.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 5.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.8

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.11.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 5.11.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

Schritt 5.11.1.3

Die linke Seite $0.65364362$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 5.11.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

Schritt 5.11.2.3

Die linke Seite $- 0.96017028$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.11.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Wahr

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Falsch

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Wahr

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Falsch

Schritt 5.12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

Schritt 7