Trigonometrie Beispiele

$\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ verläuft. Folglich ist $\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x \sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $x \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{1}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $x^{2} \cdot 2$ heraus.

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 11

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}}$ als $\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{x}$

Schritt 12

Kombinieren.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

Schritt 13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{x}$