Trigonometrie Beispiele

$\sin (\arccos (\sqrt{\frac{3}{2}}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{1^{2} - {\sqrt{\frac{3}{2}}}^{2}})$ , $(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (\sqrt{\frac{3}{2}})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{1^{2} - {\sqrt{\frac{3}{2}}}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (\sqrt{\frac{3}{2}}))$ $\sqrt{\frac{- 1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3

Schreibe $- \frac{1}{2}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ um.

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Schritt 3.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$\sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 6

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 9.6.5

Berechne den Exponenten.

$i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{i \sqrt{2}}{2}$