Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sqrt{{(a + x)}^{3}} \sqrt[3]{{(a + x)}^{2}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(a + x)}^{3}}$ als ${(a + x)}^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(a + x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt[3]{{(a + x)}^{2}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{3}{2}}$ als ${(a + x)}^{\frac{9}{6}}$ um.

$\frac{{(a + x)}^{\frac{9}{6}} \sqrt[3]{{(a + x)}^{2}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 1.1.3

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{9}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(a + x)}^{9}}$ um.

$\frac{\sqrt[6]{{(a + x)}^{9}} \sqrt[3]{{(a + x)}^{2}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 1.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(a + x)}^{2}}$ als ${(a + x)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[6]{{(a + x)}^{9}} {(a + x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 1.1.5

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{2}{3}}$ als ${(a + x)}^{\frac{4}{6}}$ um.

$\frac{\sqrt[6]{{(a + x)}^{9}} {(a + x)}^{\frac{4}{6}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 1.1.6

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{4}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(a + x)}^{4}}$ um.

$\frac{\sqrt[6]{{(a + x)}^{9}} \sqrt[6]{{(a + x)}^{4}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt[6]{{(a + x)}^{9} {(a + x)}^{4}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 1.3

Multipliziere ${(a + x)}^{9}$ mit ${(a + x)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[6]{{(a + x)}^{9 + 4}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 1.3.2

Addiere $9$ und $4$ .

$\frac{\sqrt[6]{{(a + x)}^{13}}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(a + x)}^{13}$ als ${({(a + x)}^{2})}^{6} (a + x)$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere ${(a + x)}^{12}$ aus.

$\frac{\sqrt[6]{{(a + x)}^{12} (a + x)}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe ${(a + x)}^{12}$ als ${({(a + x)}^{2})}^{6}$ um.

$\frac{\sqrt[6]{{({(a + x)}^{2})}^{6} (a + x)}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{{(a + x)}^{2} \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.3

Schreibe ${(a + x)}^{2}$ als $(a + x) (a + x)$ um.

$\frac{(a + x) (a + x) \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.4

Multipliziere $(a + x) (a + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a (a + x) + x (a + x)) \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a \cdot a + a x + x (a + x)) \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a \cdot a + a x + x a + x \cdot x) \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{(a^{2} + a x + x a + x \cdot x) \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(a^{2} + a x + x a + x^{2}) \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.5.2

Addiere $a x$ und $x a$ .

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Schritt 2.5.2.1

Stelle $x$ und $a$ um.

$\frac{(a^{2} + a x + a x + x^{2}) \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $a x$ und $a x$ .

$\frac{(a^{2} + 2 a x + x^{2}) \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} \sqrt[6]{a + x} + 2 a x \sqrt[6]{a + x} + x^{2} \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.7

Faktorisiere $\sqrt[6]{a + x}$ aus $a^{2} \sqrt[6]{a + x} + 2 a x \sqrt[6]{a + x} + x^{2} \sqrt[6]{a + x}$ heraus.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $\sqrt[6]{a + x}$ aus $a^{2} \sqrt[6]{a + x}$ heraus.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} a^{2} + 2 a x \sqrt[6]{a + x} + x^{2} \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $\sqrt[6]{a + x}$ aus $2 a x \sqrt[6]{a + x}$ heraus.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} a^{2} + \sqrt[6]{a + x} (2 a x) + x^{2} \sqrt[6]{a + x}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $\sqrt[6]{a + x}$ aus $x^{2} \sqrt[6]{a + x}$ heraus.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} a^{2} + \sqrt[6]{a + x} (2 a x) + \sqrt[6]{a + x} x^{2}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere $\sqrt[6]{a + x}$ aus $\sqrt[6]{a + x} a^{2} + \sqrt[6]{a + x} (2 a x)$ heraus.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} (a^{2} + 2 a x) + \sqrt[6]{a + x} x^{2}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.7.5

Faktorisiere $\sqrt[6]{a + x}$ aus $\sqrt[6]{a + x} (a^{2} + 2 a x) + \sqrt[6]{a + x} x^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} (a^{2} + 2 a x + x^{2})}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.8.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a x = 2 \cdot a \cdot x$

Schritt 2.8.2

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} (a^{2} + 2 \cdot a \cdot x + x^{2})}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 2.8.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = x$ .

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2}}{\sqrt[4]{a + x}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2}}{\sqrt[4]{a + x}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{\sqrt[4]{a + x}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2}}{\sqrt[4]{a + x}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{\sqrt[4]{a + x}}^{3}}$

Schritt 4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2}}{\sqrt[4]{a + x}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{\sqrt[4]{a + x}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{\sqrt[4]{a + x} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}$

Schritt 4.2

Potenziere $\sqrt[4]{a + x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{\sqrt[4]{a + x}}^{1} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{\sqrt[4]{a + x}}^{1 + 3}}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{\sqrt[4]{a + x}}^{4}}$

Schritt 4.5

Schreibe ${\sqrt[4]{a + x}}^{4}$ als $a + x$ um.

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Schritt 4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{a + x}$ als ${(a + x)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{({(a + x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{(a + x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{(a + x)}^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{(a + x)}^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{{(a + x)}^{1}}$

Schritt 4.5.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{a + x}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a + x)}^{2}$ und $a + x$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a + x$ aus $\sqrt[6]{a + x} {(a + x)}^{2} {\sqrt[4]{a + x}}^{3}$ heraus.

$\frac{(a + x) (\sqrt[6]{a + x} (a + x) {\sqrt[4]{a + x}}^{3})}{a + x}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(a + x) (\sqrt[6]{a + x} (a + x) {\sqrt[4]{a + x}}^{3})}{(a + x) \cdot 1}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + x) (\sqrt[6]{a + x} (a + x) {\sqrt[4]{a + x}}^{3})}{(a + x) \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[6]{a + x} (a + x) {\sqrt[4]{a + x}}^{3}}{1}$

Schritt 5.2.4

Dividiere $\sqrt[6]{a + x} (a + x) {\sqrt[4]{a + x}}^{3}$ durch $1$ .

$\sqrt[6]{a + x} (a + x) {\sqrt[4]{a + x}}^{3}$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$(\sqrt[6]{a + x} a + \sqrt[6]{a + x} x) {\sqrt[4]{a + x}}^{3}$

Schritt 7

Schreibe ${\sqrt[4]{a + x}}^{3}$ als $\sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$ um.

$(\sqrt[6]{a + x} a + \sqrt[6]{a + x} x) \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt[6]{a + x} a \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}} + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 9

Multipliziere $\sqrt[6]{a + x} a \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$ .

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Schritt 9.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $12$ .

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Schritt 9.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{a + x}$ als ${(a + x)}^{\frac{1}{6}}$ neu zu schreiben.

$a ({(a + x)}^{\frac{1}{6}} \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}) + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{1}{6}}$ als ${(a + x)}^{\frac{2}{12}}$ um.

$a ({(a + x)}^{\frac{2}{12}} \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}) + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{2}{12}}$ als $\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}}$ um.

$a (\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}} \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}) + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 9.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$ als ${(a + x)}^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$a (\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}} {(a + x)}^{\frac{3}{4}}) + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 9.1.5

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{3}{4}}$ als ${(a + x)}^{\frac{9}{12}}$ um.

$a (\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}} {(a + x)}^{\frac{9}{12}}) + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 9.1.6

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{9}{12}}$ als $\sqrt[12]{{(a + x)}^{9}}$ um.

$a (\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}} \sqrt[12]{{(a + x)}^{9}}) + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 9.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{2} {(a + x)}^{9}} + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 9.3

Multipliziere ${(a + x)}^{2}$ mit ${(a + x)}^{9}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{2 + 9}} + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 9.3.2

Addiere $2$ und $9$ .

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + \sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 10

Multipliziere $\sqrt[6]{a + x} x \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$ .

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Schritt 10.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $12$ .

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Schritt 10.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{a + x}$ als ${(a + x)}^{\frac{1}{6}}$ neu zu schreiben.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + x ({(a + x)}^{\frac{1}{6}} \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}})$

Schritt 10.1.2

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{1}{6}}$ als ${(a + x)}^{\frac{2}{12}}$ um.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + x ({(a + x)}^{\frac{2}{12}} \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}})$

Schritt 10.1.3

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{2}{12}}$ als $\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}}$ um.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + x (\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}} \sqrt[4]{{(a + x)}^{3}})$

Schritt 10.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{{(a + x)}^{3}}$ als ${(a + x)}^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + x (\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}} {(a + x)}^{\frac{3}{4}})$

Schritt 10.1.5

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{3}{4}}$ als ${(a + x)}^{\frac{9}{12}}$ um.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + x (\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}} {(a + x)}^{\frac{9}{12}})$

Schritt 10.1.6

Schreibe ${(a + x)}^{\frac{9}{12}}$ als $\sqrt[12]{{(a + x)}^{9}}$ um.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + x (\sqrt[12]{{(a + x)}^{2}} \sqrt[12]{{(a + x)}^{9}})$

Schritt 10.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + x \sqrt[12]{{(a + x)}^{2} {(a + x)}^{9}}$

Schritt 10.3

Multipliziere ${(a + x)}^{2}$ mit ${(a + x)}^{9}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + x \sqrt[12]{{(a + x)}^{2 + 9}}$

Schritt 10.3.2

Addiere $2$ und $9$ .

$a \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}} + x \sqrt[12]{{(a + x)}^{11}}$