Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - 1$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Schritt 2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Schritt 2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$\sin (x) = - 1, 1$

Schritt 2.7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Schritt 2.8

Löse in $\sin (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.8.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 2.8.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.8.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.8.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.8.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 2.8.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.8.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.8.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 2.8.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.8.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Löse in $\sin (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 2.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.9.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.9.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.9.4

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.9.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.9.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.9.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.9.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.9.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 2.9.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.9.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.9.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.10

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.12

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Schritt 2.12.1

Setze den Nenner in $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - \sin (x) = 0$

Schritt 2.12.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.12.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - 1$

Schritt 2.12.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.12.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.12.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.12.2.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.12.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.12.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Schritt 2.12.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 2.12.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.12.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.12.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.12.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.12.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.12.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.12.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.12.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.2.6.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 2.12.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.12.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.12.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.12.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.12.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.12.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.12.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.12.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Schritt 2.14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 2.14.1.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1 + \sin (3)}{1 - \sin (3)} \geq 0$

Schritt 2.14.1.3

Die linke Seite $1.32861403$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.14.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.14.2.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1 + \sin (6)}{1 - \sin (6)} \geq 0$

Schritt 2.14.2.3

Die linke Seite $0.56321382$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.14.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Wahr

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Wahr

Schritt 2.15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x \leq \frac{3 π}{2} + 2 π n$ oder $\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.16

Vereine die Intervalle.

$N o (Min i m u m) \leq x \leq N o (Max i m u m)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - \sin (x) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - 1$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Schritt 4.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.6

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.6.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 4.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6