Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - 2 x^{2} + 4 x - 6$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 2 x^{2} + 4 x - 6$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$ um.

$- 2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} + 4 x - 6$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $- 2$ aus $4 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 6 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 3 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- 2 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 2 x) - 2 \cdot 3 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - 2 x) - 2 (3)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} - 2 x + 3)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (x^{2} - 2 x + 3)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 2 x + 3$ durch $1$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{- 2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.8.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 2 {(0)}^{2} + 4 (0) - 6$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 \cdot 0^{2} + 4 (0) - 6$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 2 {(0)}^{2} + 4 (0) - 6$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- 2 {(0)}^{2} + 4 (0) - 6$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 2 \cdot 0 + 4 (0) - 6$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 4 (0) - 6$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 6$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 6$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$y = - 6$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 6)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 6)$

Schritt 4