Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 4 \sin (4 x) - 3$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 \sin (4 x) - 3$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 \sin (4 x) - 3 = 0$ um.

$4 \sin (4 x) - 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (4 x) = 3$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (4 x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (4 x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $\sin (4 x)$ durch $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x = \arcsin (\frac{3}{4})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Berechne $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$4 x = 0.84806207$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0.84806207$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0.84806207$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0.84806207}{4}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0.84806207}{4}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0.84806207}{4}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Dividiere $0.84806207$ durch $4$ .

$x = 0.21201551$

Schritt 1.2.7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x = (3.14159265) - 0.84806207$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Subtrahiere $0.84806207$ von $3.14159265$ .

$4 x = 2.29353057$

Schritt 1.2.8.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2.29353057$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2.29353057$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2.29353057}{4}$

Schritt 1.2.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2.29353057}{4}$

Schritt 1.2.8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2.29353057}{4}$

Schritt 1.2.8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.2.3.1

Dividiere $2.29353057$ durch $4$ .

$x = 0.57338264$

Schritt 1.2.9

Ermittele die Periode von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 1.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 1.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 1.2.9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.2.10

Die Periode der Funktion $\sin (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.21201551 + \frac{π n}{2}, 0.57338264 + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0.21201551 + \frac{π n}{2}, 0), (0.57338264 + \frac{π n}{2}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 \sin (4 (0)) - 3$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \sin (4 (0)) - 3$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $4 \sin (4 (0)) - 3$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 4 \sin (0) - 3$

Schritt 2.2.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 3$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 - 3$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = - 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0.21201551 + \frac{π n}{2}, 0), (0.57338264 + \frac{π n}{2}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 4