Trigonometrie Beispiele

$2 \cos (3 x + \frac{π}{2})$

Schritt 1

Schreibe $2 \cos (3 x + \frac{π}{2})$ als Gleichung.

$y = 2 \cos (3 x + \frac{π}{2})$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 \cos (3 x + \frac{π}{2})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$ um.

$2 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x + \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (3 x + \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (3 x + \frac{π}{2})$ durch $1$ .

$\cos (3 x + \frac{π}{2}) = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.5.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π - π}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$3 x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.5.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x = 0$

Schritt 2.2.6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.6.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$3 x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.8.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.2.8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.8.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.8.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.8.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.2.8.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.8.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.2.8.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.2.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.8.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.8.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{3 π - π}{2}$

Schritt 2.2.8.2.3

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$3 x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 2.2.8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.8.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 2.2.8.2.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$3 x = π$

Schritt 2.2.8.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.2.8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.2.8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 2.2.9

Ermittele die Periode von $\cos (3 x + \frac{π}{2})$ .

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Schritt 2.2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.9.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 2.2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 2.2.10

Die Periode der Funktion $\cos (3 x + \frac{π}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π n}{3}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 \cos (3 (0) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cos (3 (0) + \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $2 \cos (3 (0) + \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 2 \cos (0 + \frac{π}{2})$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $0$ und $\frac{π}{2}$ .

$y = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 3.2.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$y = 2 \cdot 0$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π n}{3}, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 5