Trigonometrie Beispiele

$4 y^{2} + 8 y + x - 1 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$4 {(0)}^{2} + 8 (0) + x - 1 = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $4 {(0)}^{2} + 8 (0) + x - 1$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 + 8 (0) + x - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 8 (0) + x - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$0 + 0 + x - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + x - 1$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + x - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $0$ und $x$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$4 y^{2} + 8 y + 0 - 1 = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Addiere $4 y^{2} + 8 y$ und $0$ .

$4 y^{2} + 8 y - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 8$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.4.1.3

Addiere $64$ und $16$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.4.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.5.1.3

Addiere $64$ und $16$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 2 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{5}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{5})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (2 - \sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.6.1.3

Addiere $64$ und $16$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.2.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 2 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.6.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{5}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.2.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (\sqrt{5})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (2 + \sqrt{5})}{2}$

Schritt 2.2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{2 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{2 - \sqrt{5}}{2}), (0, - \frac{2 + \sqrt{5}}{2})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{2 - \sqrt{5}}{2}), (0, - \frac{2 + \sqrt{5}}{2})$

Schritt 4