Trigonometrie Beispiele

$y = \cos (x - 3)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \cos (x - 3)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (x - 3) = 0$ um.

$\cos (x - 3) = 0$

Schritt 1.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x - 3 = \arccos (0)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x - 3 = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + 3$

Schritt 1.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x - 3 = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x - 3 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x - 3 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - 3 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - 3 = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - 3 = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{2} + 3$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x - 3)$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x - 3)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 3 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 3 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + 3 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{2} + 3 + π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \cos ((0) - 3)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \cos (0 - 3)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \cos ((0) - 3)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\cos ((0) - 3)$ .

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Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = \cos (- 3)$

Schritt 2.2.3.2

Berechne $\cos (- 3)$ .

$y = - 0.98999249$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 0.98999249)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{π}{2} + 3 + π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 0.98999249)$

Schritt 4