Trigonometrie Beispiele

$\cos (- \frac{π}{7}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\cos (\frac{13 π}{7}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3

Kombiniere $\cos (\frac{13 π}{7})$ und $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 1.4.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 1.4.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 1.4.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 1.4.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 1.4.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 1.4.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 1.4.4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.4.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 1.4.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.4.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.4.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 1.5

Kombiniere $\sin (\frac{π}{7})$ und $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Dezimalform:

$0.99842681 \dots$