Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{5 π}{8}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{5 π}{8})$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{5 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.3

Wechsele das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.1.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.3

Multipliziere $(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.4

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.3.4.1.4.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$- \frac{\sqrt{2 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.3

Addiere $- 2 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.4.4

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{5 π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Schreibe $\frac{5 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}) \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im zweiten Quadranten positiv ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 1.4.4.1

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.4.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.7

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 1.5.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 1.5.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 1.5.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 1.5.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 1.5.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 1.5.4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.5.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.5.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 1.5.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.5.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.5.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 1.6

Multipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.3

Multipliziere $(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.4

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.6.4.1.4.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.6.4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.3

Addiere $- 2 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.4.4

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2.2

Addiere $- \sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{4}$

Schritt 2.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$0$