Trigonometrie Beispiele

$\cos (15) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\cos (45 - 30) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.2

Separiere die Negation.

$\cos (45 - (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.7.2

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.7.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Schritt 1.8

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \sin (45 - 30) \sin (30)$

Schritt 1.8.2

Separiere die Negation.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \sin (45 - (30)) \sin (30)$

Schritt 1.8.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \sin (30)$

Schritt 1.8.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \sin (30)$

Schritt 1.8.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \sin (30)$

Schritt 1.8.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \sin (30)$

Schritt 1.8.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Schritt 1.8.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Schritt 1.8.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Schritt 1.8.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Schritt 1.8.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Schritt 1.8.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (30)$

Schritt 1.8.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (30)$

Schritt 1.8.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (30)$

Schritt 1.9

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.10

Multipliziere $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.2

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Addiere $3 \sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\sqrt{6}$ von $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Schritt 4.3

Addiere $4 \sqrt{2}$ und $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$0.70710678 \dots$