Trigonometrie Beispiele

$\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{5}{x})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{5}{x})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{5}{x})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$ $\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{x}$ an.

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{5^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{25}{x^{2}}}}$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{25}{x^{2}}}}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}}}$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)$ um.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{2} + 25$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2}}}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{2}$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}}}$

Schritt 2.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)}}$

Schritt 2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{x^{2} + 25}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{x}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Schritt 6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 25}$ mit $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Schritt 6.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 25}$ mit $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 25}}^{1}}$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}}$

Schritt 6.6

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}$ als $x^{2} + 25$ um.

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Schritt 6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 25}$ als ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{1}}$

Schritt 6.6.5

Vereinfache.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{x^{2} + 25}$