Trigonometrie Beispiele

$\cot (x) + \frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 2

Um $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + 1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2 \cos^{2} (x)$ von $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.3

Schreibe $1 - \cos^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) \cos (x)}$