Trigonometrie Beispiele

$\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arccsc (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ verläuft. Folglich ist $\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$ $\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} \frac{2}{x}$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} \frac{2}{x}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{2}$ und $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Schritt 5

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} \frac{2}{x}$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} \frac{2}{x}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} \frac{2}{x}$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} \frac{2}{x}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{2}$ mit $\frac{x - 2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} \frac{2}{x}$

Schritt 12

Schreibe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ um.

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Schritt 12.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 2) (x - 2)$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} \frac{2}{x}$

Schritt 12.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}$

Schritt 12.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} \frac{2}{x}$

Schritt 13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{2}{x}$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Schritt 15.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{1}{x}$

Schritt 16

Kombiniere $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$